A fórmula de Bhaskara
Toda equação do 2º grau pode ser escrita como ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero. As soluções saem em duas etapas. Primeiro calcula-se o discriminante, o delta: Δ = b² − 4ac. Depois aplica-se x = (−b ± √Δ) ÷ 2a. O sinal de mais dá uma raiz e o de menos dá a outra.
O que o delta diz antes de terminar a conta
| Valor do delta | Raízes | No gráfico |
|---|---|---|
| Δ maior que zero | duas raízes reais diferentes | a parábola corta o eixo x em dois pontos |
| Δ igual a zero | duas raízes reais iguais (raiz dupla) | a parábola encosta no eixo x em um ponto |
| Δ menor que zero | nenhuma raiz real; duas raízes complexas | a parábola não toca o eixo x |
Vértice, soma e produto
O vértice é o ponto mais baixo da parábola quando a é positivo e o mais alto quando a é negativo. Suas coordenadas são x = −b ÷ 2a e y = −Δ ÷ 4a. Em problemas de máximo e mínimo, como lucro máximo ou altura máxima de um lançamento, a resposta está no vértice, e não nas raízes.
As raízes também obedecem a duas relações que servem de conferência: a soma delas é −b ÷ a e o produto é c ÷ a. No exemplo, 3 + 2 = 5 e 3 × 2 = 6, exatamente −b e c. Em equações com a = 1 e raízes inteiras, dá para achar as soluções só procurando dois números com essa soma e esse produto.
Quando o delta não é um quadrado perfeito, as raízes são irracionais e a fita mostra tanto a forma exata, com o radical simplificado, quanto o valor decimal. Para conferir só a raiz, use a calculadora de raiz quadrada.
Perguntas frequentes
Como resolver uma equação do 2º grau por Bhaskara?
Identifique a, b e c na forma ax² + bx + c = 0, calcule o delta com b² − 4ac e aplique x = (−b ± √Δ) ÷ 2a. Em x² − 5x + 6 = 0, o delta é 1 e as raízes são 3 e 2.
O que acontece quando o delta é negativo?
A equação não tem raízes reais, porque não existe raiz quadrada real de número negativo. As duas soluções são números complexos conjugados, e a parábola não cruza o eixo x.
E quando o delta é zero?
As duas raízes são iguais e valem −b ÷ 2a. É a chamada raiz dupla, e o vértice da parábola fica exatamente sobre o eixo x.
Como achar o vértice da parábola?
Use x = −b ÷ 2a e y = −Δ ÷ 4a. Em x² − 5x + 6, o vértice é o ponto (2,5; −0,25). Se a é positivo, o vértice é o ponto de mínimo; se a é negativo, é o de máximo.
Dá para resolver sem a fórmula?
Em equações com a = 1, procure dois números cuja soma seja −b e cujo produto seja c. Em x² − 5x + 6 = 0, os números são 2 e 3. Equações incompletas, sem b ou sem c, também saem por fatoração ou isolando o x².